Kibe’s blog

　解析力学を一通り終えて、ここからは量子力学について話を進めていこうと思います。

　いま、ある系を記述する物理量を $F$ とします。例えば、 $F$ は位置や運動量、角運動量などです。またこれからは、粒子などの位置を $\boldsymbol{r}$ のかわりに $\boldsymbol{q}$ とします。これは量子力学が、粒子の速度より運動量 $\boldsymbol{p}$ を優先する正準形式の理論に基づいているからです。

　いままでやってきた古典物理学における物理量 $F = F(q(t),p(t))$ を $\boldsymbol{c}$ 数( classical number )と言います。これを量子力学的な量に移すには、量子化の手続きにしたがって、 $F = F(q,(\hbar / i) \partial / \partial q )$ とすればよいです。このような量子力学的な演算子を一般に $\boldsymbol{q}$ 数( quantum number )と言います。ここである関数 $\phi (q)$ をとってきて演算子 $F$ を作用させ、新しい関数 $F \phi (q)$ をつくったとします。このとき、 $\phi (q)$ がある特別な関数のとき、 $F \phi (q)$ が元の関数に比例することがあります。その比例定数を $f$ とすると、 $F \phi (q) = f \phi (q)$ です。一般にこのような性質をもった関数は1個とは限らず、数多く存在します。そこでこれらの関数を区別するために、添え字 $n$ をつけて、

$F(q, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q} ) \phi_n (q) = f_n \phi_n (q) \tag{1}$

と書くことにします。(1) を満たす関数 $\phi_n (q)$ と定数 $f_n$ を、それぞれ演算子 $F$ の固有関数および固有値といいます。また、これらを区別する添え字 $n$ を量子数といいます。ここでは量子数は離散的な値と仮定しますが、一般には連続的な値をとることもあります。また、同一の固有値 $f_n$ に属する固有関数は1個だけとは限らず、 $m$ 個の固有関数 $\phi_{n, \alpha} (q) (\alpha =1,2, \cdots , m)$ が同じ固有値 $f_n$ に属することがあります。このとき、固有関数 $\phi_{n, \alpha} (q)$ は $m$ 重に縮退しているといいます。ここでは縮退がなく、離散固有値の場合に限って解説をしていきます。

量子論の仮定

仮定Ⅰ　(1) の方程式の解として得られた固有状態において、 $F$ に対応する物理量の値を測定すると、その測定値は必ず実数値 $f_n$ になる。

この仮定は、量子力学における基本原理の一つです。また系が固有状態 $\phi_{n} (q)$ にあるとき、その粒子の位置を測定すると、微小領域 $dq$ 内に粒子を発見する確率が ${\mid{ \phi_n(q) } \mid} ^2 dq$ とするのが、ボルンの確率解釈です。つまり粒子は空間内のどこかに必ず存在するから

$\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} {\mid{ \phi_n(q) } \mid} ^2 dq = 1 \tag{2}$

となります。(2) の条件を満たす固有関数 $\phi_n (q)$ を規格化された固有関数といいます。( (1) は $\phi_n (q)$ に関する線形の方程式なので、固有関数を規格化するのはいつでもできる )

　いま考えている系の状態は、 $F$ の固有状態 $\phi_{n} (q)$ のどれかであるとは限りません。そこで任意の複素数の組 $\{ a_n \}$ をとってきて、これを重みとして $\phi_{n} (q)$ を重ね合わせ、新しい状態

$\psi(q) = \displaystyle \sum_{n} a_n \phi_{n} (q) \tag{3}$

をつくったとします。どのような状態にあろうと、粒子は空間内のどこかに存在するので、状態 $\psi(q)$ も (2) と同様に

$\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} {\mid{ \psi_n(q) } \mid} ^2 dq = 1 \tag{4}$

の条件を満たしていなければならないということです。

仮定Ⅱ　重ね合わせの原理
状態 $\psi(q)$ のもとで、物理量 $F$ を測定したとき、得られる測定値は (1) の固有値 $f_n$ のどれかで、それらの値の中間の値、例えば $(f_1 + f_2)/2$ のような値が得られことはないということ。その測定値として、すべての固有値の組 $\{ f_n \}$ の中のどれか1つの値 $f_n$ を得た瞬間に、これまでの状態 $\psi(q)$ は $F$ の固有値 $f_n$ に属する固有状態 $\phi_n (q)$ に転移します。そして、その転移確率は、(3) の展開係数 $a_n$ の絶対値の2乗 ${\mid a_n \mid}^2$ で得られます。

　つまり、

$\displaystyle \sum_{n} {\mid a_n \mid}^2 = 1 \tag{5}$

が成立していなくてはいけません。(4) と (5) から

$\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \psi^{*}(q) \psi(q) dq = \displaystyle \sum_{n} {a}^{*}_n a_n = 1 \tag{6}$

です。(3) の複素共役をとって、(6) の左辺に代入すると、

$\displaystyle \sum_{n} a^{*}_n \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \phi^{*}_n (q) \psi(q) dq = \displaystyle \sum_{n} {a}^{*}_n a_n \tag{7}$

この両辺を比較すると、

$a_n = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \phi^{*}_n (q) \psi(q) dq \tag{8}$

この式は、状態関数 $\psi (q)$ が与えられているとき、状態 $\phi_n (q)$ に系を発見する確率 ${\mid a_n \mid}^2$ を求める方法を与えます。またこの $a_n$ を一般に確率振幅といいます。
(3) を (8) の右辺に代入すると、

$a_n = \displaystyle \sum_{m} a_m \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \phi^{*}_n (q) \phi_m (q) dq \tag{9}$

となるので、両辺が矛盾しないためには

$\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \phi^{*}_n (q) \phi_m (q) dq = \delta_{n,m} \tag{10}$

でなければなりません。ここで右辺の $\delta_{n,m}$ はKroneckerのデルタです。この (8) の関係を固有関数 $\phi_n (q)$ の規格直交性といいます。

　今回のテーマは「ネーターの定理」です。運動方程式を積分してエネルギーや運動量などの保存則が得られることはよく知られています。どのような保存量と保存則が存在するかは、主にその力学系を規定する運動方程式の性質、特にその不変性と関連しています。しかし、その力学系についてラグランジュ関数 $L$ が存在するときには、系の力学的性質は $L$ によって決まるので、保存則は $L$ の不定性と深く関わっています。したがって、運動方程式を解かずとも $L$ の不変性から保存則を見出すことができます。その事実を一般に示したのがネーターの定理です。