ネーターの定理

 今回のテーマは「ネーターの定理」です。運動方程式積分してエネルギーや運動量などの保存則が得られることはよく知られています。どのような保存量と保存則が存在するかは、主にその力学系を規定する運動方程式の性質、特にその不変性と関連しています。しかし、その力学系についてラグランジュ関数 Lが存在するときには、系の力学的性質は Lによって決まるので、保存則は L不定性と深く関わっています。したがって、運動方程式を解かずとも Lの不変性から保存則を見出すことができます。その事実を一般に示したのがネーターの定理です。




 そこで、まず座標と時間を同時に動かした次の微小変換を考えます。


\begin{equation}
\begin{split}
 q^i(t) &\rightarrow&\ q'^i(t')=q^i(t)+\delta q^i(t,\epsilon) \\
 t\ &\rightarrow&\ t'=t+\delta t(t,\epsilon) 
\end{split} \tag{1}
\end{equation}

 \epsilonは変換の微小パラメータで、 \delta q^i(t,0)=\delta t(t,0)=0とします。「拡張された変分法」での、変分は積分の両端付近のみで時間を変化させ、中間領域ではq^iの関数の形のみを変え、時間は動かしませんでした。ネーターの定理は、すべての時間でq^i(t)tを上式のように変化させて良いので、あらためて、(1) の変分に対して\delta J\left[q\right]を計算していきます。



 作用積分J\left[q,t\right]の変分を\epsilonの1次、つまり\delta q^i,\ \delta tの1次まで求めます。上記の変換によってJ\left[q,t\right]

 J\left[q',t'\right] = \displaystyle \int_{t'_1}^{t'_2} L( q'(t'),\dot{q}'(t') )dt' \equiv \displaystyle \int_{t'_1}^{t'_2}L'dt' \tag{2}

に変わるので、

 \delta J\left[ q,t \right] = \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} dt\left( L'\frac{dt'}{dt} - L \right) \tag{3}

となります。(1) より得られる

 \frac{dt'}{dt} = 1+\frac{d}{dt}\delta t \tag{4}

を上式に代入して次式を得ます:

 \delta J\left[ q,t \right] =  \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} dt\left( L'-L+L\frac{d\delta t}{dt} \right) \tag{5}




 次に、この式の中のL'=L( q'(t'),\dot{q}'(t') ) \delta q^i,\delta \dot{q}^iおよび\delta tで展開するのですが、(1) の\delta q^itの異なる時刻における量の差であるから \delta \dot{q}^i \ne \frac{d}{dt}\delta q^i です。

そこで、tを固定した変分\overline{\delta} q^i(t)

 \overline{\delta}q^i(t) = q'^i(t) - q^i(t) \tag{6}

によって定義します。すると、

 \overline{\delta}\dot{q}^i(t) = \frac{d}{dt} \overline{\delta}q^i(t) \tag{7}

が成り立つので、

 
\begin{eqnarray}
\delta q^i(t) \equiv q'^i(t')-q^i(t) &=& q'^i(t') -q^i(t') + q^i(t') - q^i(t) \\
&=& \overline{\delta}q^i(t') + \dot{q}^i(t)\delta t = \overline{\delta}q^i(t) + \dot{q}^i(t)\delta t \tag{8}
\end{eqnarray}

を得ます。最後の表式では2次の微小量は無視してt'tとしました。



 また、(4), (7), (8)を用いて

 
\begin{eqnarray}
\delta \dot{q}^i(t) =\dot{q}'^i(t') - \dot{q}^i(t) &=& \frac{dq'^i(t')}{dt}\frac{dt}{dt'} - \dot{q}^i(t) \\
&=& \frac{dq'^i(t')}{dt}\left( 1 - \frac{d}{dt}\delta t \right) - \dot{q}^i(t) \\
&=& \frac{d}{dt}\left( q'^i(t') - q^i(t) \right) - \frac{dq'^i(t')}{dt}\frac{d\delta t}{dt} \\
&=& \frac{d}{dt}\left( \overline{\delta}q^i(t) + \dot{q}^i(t)\delta t \right) - \dot{q}^i(t)\frac{d \delta t}{dt}
\end{eqnarray}

を得ます。上式の最後で2次の微小量を無視しました。これより結局、

 \delta \dot{q}^i(t)=\overline{\delta} \dot{q}^i(t) + \ddot{q}^i(t) \delta t \tag{9}

となります。(8), (9)を使って L' を展開すると、

 
\begin{eqnarray}
L' &=& L + \frac{\partial L}{\partial q^i}\left( \overline{\delta} q^i(t) + \dot{q}^i(t)\delta t \right) + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \left( \overline{\delta} \dot{q}^i(t) + \ddot{q}^i(t)\delta t \right) \\
&=& L + \frac{\partial L}{\partial q^i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\overline{\delta}\dot{q}^i + \frac{dL}{dt}\delta t \tag{10}
\end{eqnarray}

となります。


 こうして、(5), (10)から

 \delta J\left[ q,t \right] = \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} dt \left\{ \left( \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \overline{\delta} q^i \right) +  \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\overline{\delta}q^i + L\delta t \right) \right\} \tag{11}

が得られます。この結果は、任意の微小変分(1)に対して成り立つ恒等式です。




ネーターの第1定理
 もし J\left[q,t\right] が任意の積分領域 \left[\ t_1,t_2 \right] において、(1)のもとで不変ならば、

 \delta J\left[q,t\right] = 0 \tag{12}

です。したがって、ラグランジュの運動方程式のもとでは、(11)の右辺の第1項は消えるので、次の保存則が成り立ちます。

 \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\overline{\delta}q^i + L\delta t \right) = \frac{d}{dt}\left\{ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\delta q^i(t) - \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i } - L \right) \delta t \right\} = \frac{d \Theta }{dt} = 0 \tag{13}

こうして保存量が得られました。
このように連続変換によって作用積分が不変ならば、その変換に対応した保存量が存在します。それをネーターの第1定理といいます。