両端を固定しない変分法

 今回のテーマは「拡張された変分法」についてです。前々回のハミルトンの原理では、運動方程式を導く際に、両端を固定した変分を行いましたが、両端を固定せずに動かす変分を考えることにします。そうすることで、ラグランジュ方程式以外の力学的情報が作用積分から得られます。


 

 作用積分の端点の時刻t_1,t_2を動かし、さらにt_1,t_2での変分 \delta q^i\left( t_1 \right), \delta q^i\left( t_2 \right)も0としない一般的な変分を考えます。両端の近くでの q^i の変分 \delta q^i  q^i の関数形自体の変分 \overline{ \delta }q^i  
t の変分からの寄与の和となります;

 \delta q^i\left(t\right) = \overline{\delta}q^i\left(t\right) + \dot{q}^i\left(t\right)\delta t,\ \left(i = 1 \sim N\right) \tag{1}

ただし、 P_1,P_2 の近傍以外の中間領域では q^i の変分は \overline{ \delta }q^i のみとします。



この変分に対して \delta J\left[ q \right] の変化は

 \delta J\left[ q \right] = \displaystyle \int_{t_1+\delta t_1}^{t_2 + \delta t_2}dt L \left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right) -  \displaystyle \int_{t_1}^{t_2}dt L \left( q,\dot{q},t \right) \tag{2}

となります。これを変形すると、


  \begin{eqnarray} \delta J\left[ q \right] &=& \left\{\displaystyle \int_{t_1+\delta t_1}^{t_1} + \displaystyle \int_{t_2}^{t_2+ \delta t_2} \right\} dt L \left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right) +  \displaystyle \int_{t_1}^{t_2}dt \left\{ L \left( q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t \right) - L\left( q,\dot{q},t \right) \right\}  \\ &=& \left\{\displaystyle \int_{t_1+\delta t_1}^{t_1} + \displaystyle \int_{t_2}^{t_2+ \delta t_2} \right\} dt \left( L\left( q,\dot{q},t \right) + \frac{\partial L}{\partial q}\delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} + \left( 2次以上 \right)  \right) + \overline{\delta} \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} L\left( q,\dot{q},t \right) \end{eqnarray}


ここで、

  \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2}dt L\left( q,\dot{q},t \right) &=& \left[ M(t) \right]_{t_2}^{t_2 + \delta t_2} = M(t_2 + \delta t_2) - M(t_2) = M'(t_2)\delta t_2 + O(\delta t_2^2) \\ &=& \left. L(q,\dot{q},t) \right|_{t_2} \delta t_2 + O(\delta t_2^2) \end{eqnarray}

同様にして、

 \displaystyle \int_{t_1 + \delta t_1}^{t_1}dt L\left( q,\dot{q},t \right) = - \left. L(q,\dot{q},t) \right|_{t_1} \delta t_1 + O(\delta t_1^2)

 \displaystyle \int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2}dt \frac{\partial L}{\partial q}\delta q= \frac{\partial L}{\partial q}\delta q \delta t_2 + O( \delta q, \delta t_2^2 ) = O( \delta q, \delta tの2次以上 )

 \displaystyle \int_{t_2}^{t_2 + \delta t_2}dt \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \delta t_2 + O( \delta \dot{q}, \delta t_2^2 ) = O( \delta \dot{q}, \delta tの2次以上 )


これらを用いて2次以上 の微小量を無視すると、
 \delta J\left[ q \right] = L( q_2,\dot{q}_2,t_2 )\delta t_2 - L( q_1,\dot{q}_1,t_1 )\delta t_1 + \overline{\delta} \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot{q},t) dt \tag{3}

を得ます。


  \overline{ \delta }q^i (t)は時間 tを止めた変分なので、

 \overline{ \delta }\dot{q}^i = \frac{d}{dt}\overline{ \delta }q^i (t) \tag{4}

が成り立ちます。よって、部分積分ができるので、( 3 ) は

 \delta J\left[ q \right] = \left[ L(q,\dot{q},t)\delta t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \overline{\delta}q^i \right]_{t_1}^{t_2} + \displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\left\{ \frac{\partial L}{\partial q^i} - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right) \right\}\overline{\delta}q^i \tag{5}

となります。これが拡張された変分の一般式です。


 上の式の第2項はラグランジュ方程式を用いると消えるので、運動の経路cの上では、

 \delta J\left[ q \right]_c = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\delta q^i - \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L \right)\delta t \right]_{t_1}^{t_2} \tag{6}

が成り立ちます。


 ( 6 ) は運動経路c上での作用積分の変分は、積分の中間領域には依存せず、境界値のみで決まるということを示しています。つまり、 \delta J\left[ q \right]_c 積分可能であることを意味しています。したがって、作用積分汎関数変分が積分可能であるための必要十分条件は、その積分経路上でラグランジュ方程式が成り立つことです。

 そこで、

 \Theta(t) \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\delta q^i - \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \dot{q}^i - L \right)\delta t \tag{7}

とおくと、

 \delta J\left[ q \right]_c = \Theta(t_2) - \Theta(t_1) \tag{8}

と書けます。


 ハミルトンの正準理論は今後詳しく説明しますが、よくご存知のように、正準形式では一般化運動量p_iは( 6 ) の \delta q^i の係数で、

 p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \tag{9}

によって与えられます。この p^i  q^i に共役な運動量と呼ばれます。


 また、ハミルトン関数Hは( 7 ) の \delta t の係数因子

 H(q,p) = p_i \dot{q}^i - L \tag{10}

で定義されます。 Hは正準変数 q^i,p_i の関数として定義されますが、その p_i q^i,\dot{q}^i で表したものが \Theta の表式の中の \delta t の係数です。そこで、

 \Theta(t) = p_i (q,\dot{q})\delta q^i - E(q,\dot{q})\delta t \tag{11}

と表すことにします。ただし、

 E(q,\dot{q}) = p_i(q,\dot{q}) \dot{q}^i - L(q,\dot{q}) \tag{12}

で、 \Thetaラグランジュ形式での量を意味します。それに対して、ハミルトンの正準形式では、

   {*}{\Theta}{} = p_i \delta q^i - H(q,p)\delta t \tag{13}

と表されます。これからは \Theta {*}\Thetaを基本変分式と呼ぶことにします。