ホロノーム系と非ホロノーム系

　今回のテーマは、「拘束条件」についてです。拘束条件は、力学変数を $x^i \left(i=1 \sim N\right)$ とすると、一般に微分形で与えられ、次のように表されます。

$\omega_{\alpha} \equiv a_{\alpha i}\left( x,t \right)dx^i + b_{\alpha}\left(x,t\right)dt=0,\ \left( \alpha=1\sim k \right) \tag{1}$

　ここで、 $\alpha$ は拘束条件の番号を表す添え字で、 $k$ は拘束条件の数です。 $a_{\alpha i}$ と $b_{\alpha }$ は $x^i$ と時間 $t$ の関数で、 $a_{\alpha i}\left( x,t \right)$ は $a_{\alpha i}\left( x^1,x^2,\cdots,x^N,t \right)$ の略記です。

　 $\omega_{\alpha}$ のうちで独立でないものは落として、 $\omega_{\alpha}$ はすべて独立とします。これら $\omega_{\alpha}$ のうちで積分可能なものがあれば、その拘束条件を積分形で表す方が便利なので、積分可能なものは積分して、

$g_{\mu} \left( x,t \right) = c_{\mu},\ \left( \mu=1 \sim m \right) \tag{2}$

と表すことにします。 $c_{\mu}$ は積分定数で、 $m$ は積分可能な拘束条件の数です。つまり、積分可能でない残りの拘束条件は、

$\omega_{\sigma} \equiv a_{\sigma i}\left( x,t \right)dx^i + b_{\sigma}\left(x,t\right)dt=0,\ \left( \sigma=1\sim k-m \right) \tag{3}$

となります。

　すべての拘束条件(1)がすべて積分可能な場合、つまり $k=m$ のとき、この系をホロノーム系(horonomic system)といい、積分不可能な拘束条件のある場合を非ホロノーム系といいます。

例）曲面上の運動
　曲面への法線成分を $n_i$ とすると、質点の運動は法線に垂直なので、拘束条件は

$\omega=n_idx^i=0 \tag{a-1}$

となります。その曲面の方程式を

$g\left( x^1,x^2,x^3 \right) = c \tag{a-2}$

とすると、

$n_i=\partial g/ \partial x^i \tag{a-3}$

です。この (a-3) を (a-1) に代入すれば、直ちに積分できて (a-2) を得ることができます。これが積分形の拘束条件です。したがって、この系の自由度は 3-1=2 ということです。

　非ホロノーム系の例として、滑らかな平面上を滑らずに転がる球の運動です。
剛体の運動を記述するのに便利なオイラー角を用いて拘束条件を表します。平面上の球の状態を指定するのに、中心の位置 $x,y$ 、球の向きを決めるオイラー角 $\theta, \psi ,\phi$ の5変数が必要で、半径aの球が滑らない条件は次の2つです。
$\omega_1 = dx - a\left( cos\phi d\theta + sin\theta sin\phi d\psi \right) = 0 \tag{b-1}$

$\omega_2 = dy - a\left( sin\phi d\theta - sin\theta cos\phi d\psi \right) = 0 \tag{b-2}$

この2つの条件を求めていきます。球が角速度 $\boldsymbol{\omega}$ で回転し、速度 $\dot{\boldsymbol{x}}$ で並進しているとします。この球が滑らず平面上を運動するとき拘束条件は、

$\dot{\boldsymbol{x}} = -\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_T \tag{b-3}$

です。ここで $\boldsymbol{r}_T$ は、球の中心から平面と球の接点へ向かうベクトルとします。

球の回転は、回転行列 $R\left( \theta,\psi, \phi \right)$ で表せます；球に固定された $XYZ$ 系と平面に固定された $xyz$ 系の変換行列が $R\left( \theta,\psi, \phi \right)$ ということです。

いま、球に固定されたある点 $\boldsymbol{r}_0$ を考えます。この点は、 $\boldsymbol{r}(t) = R(t)\boldsymbol{r}_0$ で回転するので、 $\dot{ \boldsymbol{r} }(t) = \frac{dR}{dt}\boldsymbol{r}_0$ です。また速度と角速度の関係は、 $\dot{ \boldsymbol{r} }(t) = \boldsymbol{\omega}(t) \times \boldsymbol{r}(t)$ なので、
$\frac{dR}{dt}\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{\omega}(t) \times R(t)\boldsymbol{r}_0$

よって、 $\frac{dR}{dt} = \boldsymbol{\omega}(t) \times R(t) \rightarrow \frac{dR}{dt} = \left[\boldsymbol{\omega}(t) \times \right] R(t)$

この式に右から $R(t)^T = R(t)^{-1}$ を掛けて、
$\left[ \boldsymbol{\omega}(t) \times \right] = \frac{dR}{dt}R^T \tag{b-4}$
を得ます。

上の結果を用いて(b-3) に (b-4) を代入して具体的に計算すると、
$\dot{\boldsymbol{x}} = -\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_T = - \frac{dR}{dt}R^T \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -a \end{array} \right) = \cdots = a\left( \begin{array}{c} cos\phi \\ sin\phi \\ 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt} + a\left( \begin{array}{c} sin\theta\ sin\phi \\ -sin\theta\ cos\phi \\ 0 \end{array} \right)\frac{d\psi}{dt}$

したがって、

$\left( \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right) = a\left( \begin{array}{c} cos\phi \\ sin\phi \end{array} \right)d\theta + a\left( \begin{array}{c} sin\theta sin\phi \\ -sin\theta cos\phi \end{array} \right)d\psi$

として条件が求まりました。