静電誘導 - Kibe’s blog

　今回は、「静電誘導」についてです。前々回の鏡像法で扱った例( $xy$ 平面を境界として $z<0$ に広がる導体)から実際に導体表面に誘起される電荷密度を求めていきたいと思います。

鏡像法の例では、仮想電荷を用いると静電ポテンシャルは、
$\phi( \boldsymbol{r} ) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \mid \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 \mid} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \mid \boldsymbol{r} + \boldsymbol{r}_0 \mid } \tag{1}$
となりました。

ここで、
$\begin{eqnarray} \frac{1}{\mid \boldsymbol{r} \pm{ \boldsymbol{r}_0 } \mid} &=& \sqrt{x^2+y^2+(z\pm{a})^2}^{-1} = ( x^2+y^2+z^2\pm{2az} + a^2 )^{-1/2} \\ &=& (x^2+y^2+a^2)^{-1/2} - \frac{1}{2}( x^2+y^2+a^2 )^{-3/2} \cdot ( \pm{2az} ) + O(z^2) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{ x^2+y^2+a^2 }} \mp{ \frac{az}{( x^2+y^2+a^2 )^{3/2}} } + O(z^2) \end{eqnarray}$
なので、

$z>0$ のとき
$\begin{eqnarray} \phi( \boldsymbol{r} ) &=& \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{ \sqrt{ x^2+y^2+(z-a)^2 } } - \frac{1}{ \sqrt{ x^2+y^2+(z+a)^2 } } \right) ( = \widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) ) \\ &=& \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{2az}{(x^2+y^2+a^2)^{3/2}} +O(z^2) \\ &=& \frac{qaz}{2\pi \epsilon_0 (x^2+y^2+a^2)^{3/2} } + O(z^2) \end{eqnarray}$

$z \leq 0$ のとき
$\phi( \boldsymbol{r}) = 0$

となります。

確認として
$\displaystyle \lim_{z \to +0} \phi( \boldsymbol{r}) = 0 = \phi(z=0)$ なので、 $\phi$ は $z=0$ で連続で、その値は $0$ です。

一方、
$\displaystyle \lim_{z \to +0} \frac{\partial \phi}{\partial z} = \displaystyle \lim_{z \to +0} \left\{ \frac{qa}{2\pi \epsilon_0 (x^2+y^2+a^2)^{3/2} } + O(z) \right\} = \frac{qa}{2\pi \epsilon_0 (x^2+y^2+a^2)^{3/2} } \neq 0 = \displaystyle \lim_{z \to -0} \frac{\partial \phi}{\partial z}$
なので、 $\frac{\partial \phi}{\partial z}$ は $z=0$ で不連続です。

このような不連続関数は階段関数を用いるとうまく表現できるので、
$\begin{eqnarray} \phi( \boldsymbol{r}) &=& \begin{cases} \widetilde{\phi}(\boldsymbol{r} ) & (z>0) \\ 0 & (z \leq 0) \end{cases} \\ &=& \theta(z)\widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) \end{eqnarray}$

と表すことにします。

ここで、 $\displaystyle \lim_{z \to +0} \widetilde{\phi}( \boldsymbol{r}) =0$ に注意すると、
$\frac{\partial \phi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\{ \theta(z)\widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) \} = \delta(z)\widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) + \theta(z)\frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z} = \theta(z)\frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z}\ →\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \delta(z)\frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z} + \theta(z)\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial z^2} = \delta(z) \left. \frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z} \right|_{z=0} + \theta(z)\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial z^2}$

さらに $x,y$ での偏微分も考えて、
$\frac{ \partial^2 \phi }{ \partial x^2 } = \frac{ \partial^2 }{ \partial x^2 }\{ \theta(z)\widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) \} = \theta(z)\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial x^2}\ ,\ \frac{ \partial^2 \phi }{ \partial y^2 } = \frac{ \partial^2 }{ \partial y^2 }\{ \theta(z)\widetilde{\phi}(\boldsymbol{r}) \} = \theta(z)\frac{\partial^2 \widetilde{\phi}}{\partial y^2}$

よって、 $\Delta \phi = \delta(z) \left. \frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z} \right|_{z=0} + \theta(z) \Delta \widetilde{\phi}$ 　のように書けます。

いま、 $\Delta \widetilde{\phi}$ は式(1)から、 $\Delta \widetilde{\phi} = -\frac{1}{\epsilon_0} \left\{ q\delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 ) - q\delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'_0 ) \right\}$ なので、

$\begin{eqnarray} \theta(z) \Delta \widetilde{\phi} &=& \begin{cases} -\frac{1}{\epsilon_0}q\delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 ) & (z>0) \\ 0 & (z \leq 0) \end{cases} \\ &=& -\frac{q}{\epsilon_0} \delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 ) \end{eqnarray}$

ゆえに、
$\begin{eqnarray} \Delta \phi &=& \delta(z) \left. \frac{\partial \widetilde{\phi}}{\partial z} \right|_{z=0} - \frac{q}{\epsilon_0} \delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 ) \\ &=& \delta(z) \frac{qa}{2\pi \epsilon_0 (x^2+y^2+a^2)^{3/2} } - \frac{q}{\epsilon_0} \delta( \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_0 ) \end{eqnarray}$

上の結果と、ポアソン方程式 $\Delta \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$ とを比較すると、
1項目は $z=0$ にある表面電荷に対応する電荷密度で、2項目は $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0$ にある点電荷に対応するということです。