ポアソン方程式と境界値問題
今回のテーマは、「ポアソン方程式と境界値問題」についてです。前回、静電場における境界値問題を扱いましたが、そこでさらっと流していたポアソン方程式の解の一意性を解説していきます。
ポアソン方程式の境界値問題が一意的な解をもつとは、
ある閉じた領域の中で与えられたを含むポアソン方程式があって、境界条件としての値かの値がその領域の表面で与えられているとき(はを囲む閉曲面の法線微分を表す)、これら同じポアソン方程式と境界条件に従う2つの関数、は、恒等的に等しい。
ということです。
そこで、今回はこのことを証明していこうと思います。
まず、
によって定義されるを導入します。にを演算したものは、とが満たすポアソン方程式が同じを含むので0になります。すなわち、はの中で、ラプラス方程式を満たすということです。したがって、の中で、
が恒等的に成り立ちます。また、とに対する境界条件が同じなので、または、は、の上で恒等的に0になります。
式(2)をの内部で体積積分すると、
のようになります。
ここで、を用いました。
さらに、式(3)の左辺にガウスの定理を用いることで、
が導かれます。つまり、またはのどちらかがの上で恒等的に0であれば左辺は0となり、その結果、右辺の体積積分の値が0になることがわかります。ここで、は負になることはないので、はの内部で恒等的に0とならなくてはなりません。
まず、境界上で、がいたるところで0だとします。もし、がの内部のある領域で0でない値をとったとすると、その領域と境界の間にが0でない領域がなくてはなりません。これはがの内部で恒等的に0になるということに矛盾するので、この境界条件の下では、はの内部でいたるところ0になります。
また、もし境界上で、がいたるところで0であることが要求されていたとすると、は境界上およびの内部でいたるところで定数であるということになります。この場合、ととは定数だけ異なっていても問題ありませんが、そのとき、およびから導かれる電場は恒等的に等しいので、この定数差は無視してもよいということです。
したがって、どちらの境界条件が課せられても、とは恒等的に等しいということになり、ポアソン方程式の解の一意性が証明されました。