支点が動く振り子　解説3

解説3

　みなさん、こんにちは。今回は前回から続いて、問題の最後を解説していきます。
問題3は、実際にハミルトンの正準方程式を解いて、微小振動における振動数を求めるというものです。

まずは、解説1で与えた $p=M\dot{q}$ から、

$p=\begin{bmatrix}m & mlcos\theta\\mlcos\theta & ml^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{x}_0 \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m\dot{x}_0 + ml\dot{\theta}cos\theta \\ ml\dot{x}_0cos\theta + ml^2\dot{\theta} \end{bmatrix}$
なので、両辺を時間微分して
$\dot{p}= \begin{bmatrix} m\ddot{x}_0 + ml\ddot{\theta}cos\theta - ml\dot{\theta}^2sin\theta \\ ml\ddot{x}_0cos\theta - ml\dot{x}_0\dot{\theta}sin\theta + ml^2\ddot{\theta} \end{bmatrix}$

上の式と、解説2で求めた正準方程式
$\dot{p} = \begin{bmatrix} -kx_0 \\ \frac{(l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta - lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta)}{ml^2sin^3\theta} - mglsin\theta \end{bmatrix}$
を比較してやると、

$p_{x_0}$ に関しては、
$m\ddot{x}_0 + ml\ddot{\theta}cos\theta - ml\dot{\theta}^2sin\theta = -kx_0 \Leftrightarrow m\ddot{x}_0 + ml\ddot{\theta}cos\theta - ml\dot{\theta}^2sin\theta + kx_0= 0\tag{1}$
と簡単に求めることができます。

$p_{\theta}$ に関しては、単純に比較すると、
$ml\ddot{x}_0cos\theta - ml\dot{x}_0\dot{\theta}sin\theta + ml^2\ddot{\theta} = \frac{(l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta - lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta)}{ml^2sin^3\theta} - mglsin\theta$
のように $p$ が残ることになります。

そこで、最初の $p=M\dot{q}$ を用いて $p$ を消去することを考えます。ここでは、計算が煩雑になるので右辺第1項目の分子だけをいまから計算していこうと思います。

$\{l^2(m\dot{x}_0 + ml\dot{\theta}cos\theta)^2 + (ml\dot{x}_0cos\theta + ml^2\dot{\theta})^2\}cos\theta - l(m\dot{x}_0 + ml\dot{\theta}cos\theta)(ml\dot{x}_0cos\theta + ml^2\dot{\theta})(1 + cos^2\theta) = -m^2l^3\dot{x}_0\dot{\theta}(cos^2\theta - 1)^2$

分母には $sin\theta$ があるので、 $cos^2\theta - 1 = sin^2\theta$ を用いて変形すると、

$ml\ddot{x}_0cos\theta - ml\dot{x}_0\dot{\theta}sin\theta + ml^2\ddot{\theta} = -\frac{m^2l^3\dot{x}_0\dot{\theta}sin^4\theta}{ml^2sin^3\theta} - mglsin\theta \Leftrightarrow ml\ddot{x}_0cos\theta + ml^2\ddot{\theta} + mglsin\theta = 0 \tag{2}$
となります。

これでハミルトンの正準方程式からラグランジュ方程式が得られました。
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m\ddot{x}_0 + ml\ddot{\theta}cos\theta - ml\dot{\theta}^2sin\theta + kx_0= 0 \\ ml\ddot{x}_0cos\theta + ml^2\ddot{\theta} + mglsin\theta = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

ここからは、微小振動の振動数を求めるために近似を行います。
具体的には、
$cos\theta \fallingdotseq 1 , sin\theta \fallingdotseq \theta , \dot{\theta}^2sin\theta \fallingdotseq 0$
こんな感じ。

上の近似を用いることで、ラグランジュ方程式は、
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m\ddot{x}_0 + ml\ddot{\theta} + kx_0= 0 \\ ml\ddot{x}_0 + ml^2\ddot{\theta} + mgl\theta = 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
のようになります。

この解を求めるために、 $x_0 = Ae^{i\omega t} , \theta = Be^{i\omega t}$ を代入し、 $e^{i\omega t}$ で割ると,

$\begin{bmatrix} k-m\omega^2 & -ml\omega^2 \\ ml\omega^2 & ml^2\omega^2 - mgl \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$