支点が動く振り子　解説2

解説2

　みなさん、こんにちは！今回は前回の続きで問題の2番を解説していきます。
問題2は、ハミルトンの正準方程式を求めるものです。方程式の形を確認してから、実際に計算に入り、解いていきます。

問題を見ておきましょう。

ハミルトニアンを求めよ。
ハミルトンの正準方程式を求めよ。
ハミルトンの正準方程式を解き、微小振動における振動数を求めよ。

f:id:Kibe:20210209143358j:plain — 支点の動く振り子

前回では、問1のハミルトニアンを求めたところで終わっていました。
kibe.hateblo.jp

求めたハミルトニアンは、
$H=\frac{l^2p_{x_0}^2-2lp_{x_0}p_\theta cos\theta +p_\theta^2}{2ml^2sin^2\theta}+\frac{1}{2}kx_0^2-mglcos\theta(=\frac{1}{2}p^TM^{-1}p+U)$
でしたね。

では問2からもやっていきましょう。

確認ですが、ハミルトンの正準方程式は、
$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$
でした。

今回も最初は行列の形式で計算して、最後に具体的な計算をしようと思います。
まず、 $\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$ から考えていきます。
ポテンシャルエネルギー $U$ は $q$ の関数になっているので
$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial (\frac{1}{2}p^TM^{-1}p)}{\partial p}=\frac{1}{2}(M^{-1}+(M^{-1})^T)p=M^{-1}p=\frac{1}{ml^2sin^2\theta}{\begin{bmatrix}l^2 & -lcos\theta\\ -lcos\theta & 1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x_0} \\ p_\theta \end{bmatrix}}$
よって、
$\dot{q}=\begin{bmatrix} \dot{x_0} \\ \dot{\theta} \end{bmatrix}=\frac{1}{ml^2sin^2\theta}{\begin{bmatrix}l^2p_{x_0} - lp_{\theta}cos\theta\\ p_{\theta} - lp_{x_0}cos\theta \end{bmatrix}}$
となります。

次は、 $\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} = -\frac{\partial (\frac{1}{2}p^TM^{-1}p)}{\partial q} - \frac{\partial U}{\partial q}$ を見ていきます。
この計算は少し面倒くさいですが、順を追ってやっていきましょう！

まず、第一項目ですが、 $x_0$ についての微分は $\frac{\partial (\frac{1}{2}p^TM^{-1}p)}{\partial x_0}=0$ となり簡単です。
それから $\theta$ についての微分は、

$\frac{\partial (\frac{1}{2}p^TM^{-1}p)}{\partial \theta}=\frac{2lp_{x_0}p_{\theta}sin\theta \times 2ml^2sin^2\theta - (l^2p_{x_0}^2-2lp_{x_0}p_\theta cos\theta +p_\theta^2) \times 4ml^2sin\theta cos\theta }{ ( 2ml^2sin^2\theta )^2 } = \frac{lp_{x_0}p_{\theta}sin^2 \theta - (l^2p_{x_0}^2-2lp_{x_0}p_\theta cos\theta +p_\theta^2)cos\theta}{ml^2sin^3 \theta}$
となり、整理して

$\frac{\partial (\frac{1}{2}p^TM^{-1}p)}{\partial \theta}=\frac{lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta ) - (l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta}{ml^2sin^3\theta}$
になります。

さらに、 $\frac{\partial U}{\partial q}$ に関しては $U=\frac{1}{2}kx^2_0 - mglcos\theta$ なので、
$\frac{\partial U}{\partial q} = \begin{bmatrix} \frac{\partial U}{\partial x_0} \\ \frac{\partial U}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx_0 \\ mglsin\theta \end{bmatrix}$
となります。これで、準備が終わりました。

よって、
$\dot{p}= - \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta ) - (l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta}{ml^2sin^3\theta} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} kx_0 \\ mglsin\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -kx_0 \\ \frac{(l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta - lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta)}{ml^2sin^3\theta} - mglsin\theta \end{bmatrix}$

では、最後にまとめて正準方程式を書いておきましょう

$\begin{bmatrix} \dot{x_0} \\ \dot{\theta} \end{bmatrix}=\frac{1}{ml^2sin^2\theta}{\begin{bmatrix}l^2p_{x_0} - lp_{\theta}cos\theta\\ p_{\theta} - lp_{x_0}cos\theta \end{bmatrix}}$
$\begin{bmatrix} \dot{p}_{x_0} \\ \dot{p}_\theta \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -kx_0 \\ \frac{(l^2p^2_{x_0} + p^2_{\theta}) cos\theta - lp_{x_0}p_{\theta} (1 + cos^2\theta)}{ml^2sin^3\theta} - mglsin\theta \end{bmatrix}$