支点が動く振り子　解説1

解説1

　みなさん、こんにちは！本日はさっそく解析力学の問題の解説をやっていこうと思います。なぜいきなり、問題の解説を書こうと思ったかと言いますと、大学での力学の授業で、解説が答えありきの雑なものだと感じたからなんです。ですので、この解説ではなるべく式は省略せずにやっていこうと思います。

まず、問題はこんな感じです

この振り子に関するハミルトニアンを求めよ。
ハミルトンの正準方程式を求めよ。
ハミルトンの正準方程式を解き、微小振動における振動数を求めよ。

f:id:Kibe:20210209143358j:plain — 支点の動く振り子

では、問1から考えていきましょう!
とりあえず質点の座標を $(x,y)$ とします。すると、
$x=x_0 + lsin\theta , y=lcos\theta$
と表されるので、
$\dot{x}=\dot{x}_0+l\dot{\theta}cos\theta , \dot{y}=-l\dot{\theta}sin\theta$
となります。

いま、運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $U$ は、
$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) , U=\frac{1}{2}kx_0^2-mglcos\theta$
と表されるので、ラグランジアンは、
$L=T-U=\frac{1}{2}m({\dot{x}^2+\dot{y}^2})-\frac{1}{2}kx_0^2+mglcos\theta =\frac{1}{2}m(\dot{x}_0^2+2l\dot{x}_0\dot{\theta}cos\theta+l^2\dot{\theta}^2)-\frac{1}{2}kx_0^2+mglcos\theta$
です。

ここで、つぎのような行列を導入して計算を楽にしていこうと思います。
$M=\begin{bmatrix}m & mlcos\theta\\mlcos\theta & ml^2\end{bmatrix}, q=\begin{bmatrix}x_0\\ \theta \end{bmatrix}, p=\begin{bmatrix}p_{x_0} \\ p_\theta \end{bmatrix}$

これらを用いると、ラグランジアンは
$L=\frac{1}{2}\dot{q}^{\mathrm{T}}M\dot{q}-U$
のように表現できるので、定義に基づいて一般化運動量 $p$ を求めると、
$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}(M+M^{\mathrm{T}})\dot{q}=M\dot{q} \Rightarrow \dot{q}=M^{-1}p$

これでようやく準備が終わりました。よって、求めるハミルトニアンは、
$H=p^T\dot{q}-L=p^T(M^{-1}p)-\frac{1}{2}({(M^{-1}p)}^TM(M^{-1}p)-U)=\frac{1}{2}p^TM^{-1}p+U$
となります。

ハミルトニアンの具体的な計算については、
$M^{-1}=\frac{1}{ml^2sin^2\theta}{\begin{bmatrix}l^2 & -lcos\theta\\ -lcos\theta & 1 \end{bmatrix}}$
に注意すれば、

$H=\frac{1}{2ml^2sin^2\theta}{\begin{bmatrix}p_{x_0} \\ p_\theta \end{bmatrix}}^T{\begin{bmatrix}l^2 & -lcos\theta\\ -lcos\theta & 1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x_0} \\ p_\theta \end{bmatrix}}+U=\frac{l^2p_{x_0}^2-2lp_{x_0}p_\theta cos\theta +p_\theta^2}{2ml^2sin^2\theta}+\frac{1}{2}kx_0^2-mglcos\theta$
として求めることができます。

はじめての投稿で慣れない部分もあり、今日の解説はここまでにさせていただきます。それではまた次回から問2についての解説をしていきますのでよろしくお願いします!
最後までお読みいただきありがとうございました。

つづきの解説↓
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